高等数学问题的数值解(2)--近似计算函数导数
例:甲、乙、丙、丁4个人分别位于起始位置(-200,200)、(200,200)、(200,-200)以及(-200,200)处(单位:米),并且以恒定的速率1m/s行走。在行走过程中,甲始终朝向乙的当前位置;同样,乙朝向丙、丙朝向丁、丁朝向甲。试绘制4人行走过程的近似轨迹。
分析:在运动学中,速度是位移相对于时间的导数,即
$$v(t)=\frac{d}{dt}r(t)$$
因此,在一段很短的时间$\Delta t$内,近似地有
$$r(t+\Delta t)\approx r(t)+v(t)\cdot \Delta t$$
又由于位移、速度均是矢量,因此在xOy平面内,又有
$$\begin{cases}
r_{x}(t+\Delta t)\approx r_{x}(t)+v(t)\cdot \Delta t \cdot cos\theta (t)\\
r_{y}(t+\Delta t)\approx r_{y}(t)+v(t)\cdot \Delta t \cdot sin\theta (t)
\end{cases}
$$
其中,$\theta (t)$是t时刻与x轴正向的夹角。
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